最終更新: 2026-07-01

ばね振り子（単振動）の計算

ばねにつないだおもりは、単振動の代表例です。おもりを横にずらして放すと、動いた距離に比例する力でばねが引き戻します。これがフックの法則 $F = -kx$ です。この線形の復元力により、おもりは一定のリズムで往復し、その速さは質量 $m$ とばね定数 $k$ の2つだけで決まります。

この計算では、質量とばね定数から、周期 $T$（1往復にかかる時間）、振動数 $f$（毎秒の往復回数）、角振動数 $\omega$（ラジアン毎秒）を求めます。

振動の速さを決めるもの

ばねが硬いほど速く、おもりが重いほど遅く振動します。

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{T}$$

どちらの量も平方根の中にあるため、その効きはゆるやかです。質量を4倍にしても周期は2倍にしかならず、ばねを4倍硬くしても周期は半分になるだけです。式に重力 $g$ が現れない点に注目してください。水平のばねも鉛直のばねもまったく同じ速さで振動し、軌道上でも正確に時を刻みます。腕時計を制御するのが振り子ではなくひげぜんまいなのはこのためです。

公式

量	記号	意味
質量	$m$	ばねにつないで振動するおもり
ばね定数	$k$	単位伸びあたりの力、N/m
角振動数	$\omega$	振動の速さ、$\omega = \sqrt{k/m}$
周期	$T$	1往復の時間、$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
振動数	$f$	毎秒の往復回数、$f = 1/T$

計算例

0.5 kg のおもりを、硬さ 20 N/m のばねにつなぎます。角振動数は次のようになります。

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0.5}} = \sqrt{40} = 6.325\ \text{rad/s}$$

周期は1往復にかかる時間です。

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\ &= 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{20}} \\ &= 2\pi \times 0.1581 \\ &= 0.9935\ \text{s} \end{aligned}$$

振動数はその逆数で $f = 1/T = 1.007$ Hz、毎秒わずかに1往復を超える程度です。質量 0.5 kg、ばね定数 20 N/m を入力すると同じ結果が得られます。

ばね振り子と振り子

ばね振り子も単振り子もどちらも単振動で、周期はいずれも $2\pi\sqrt{\text{慣性}/\text{復元の強さ}}$ の形をしています。違うのは復元力の源です。振り子は重力で戻されるため、周期 $2\pi\sqrt{L/g}$ は長さと現地の重力で決まります。ばねは自ら復元力を生むため、周期 $2\pi\sqrt{m/k}$ は質量とばね定数で決まり、重力の影響を受けません。両者は、周期が振幅によらないという単振動共通の性質を持っています。

振動のエネルギー

おもりが動くと、エネルギーは2つの形の間を行き来します。端では一瞬おもりが止まり、エネルギーはすべて弾性エネルギー $\tfrac{1}{2}kA^2$ としてばねに蓄えられます（$A$ は振幅）。中央ではばねが自然長に戻り、エネルギーはすべて運動エネルギー $\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2$ になります。摩擦のない理想系では合計は一定で、両者は1周期あたり2回入れ替わります。

限界

これらの式は、運動範囲全体でフックの法則に従う理想的なばね、質量のないばね、摩擦や空気抵抗がないことを前提とします。実際のばねには自身の質量があり振動数をわずかに下げますし、減衰は周期をほぼ変えずに振幅を徐々に小さくします（軽い減衰の場合）。ばねを線形でなくなるほど伸ばすと運動はもはや単振動ではなくなり、これらの結果は当てはまりません。

よくある質問 (FAQ)

ばね振り子の式はどうなりますか？

質量 m のおもりを硬さ k のばねにつなぐと、単振動をします。角振動数は ω = √(k/m)、1往復にかかる周期は T = 2π√(m/k)、振動数はその逆数 f = 1/T です。周期は秒、振動数はヘルツ（毎秒の振動回数）、角振動数はラジアン毎秒で表します。

質量とばね定数は周期にどう影響しますか？

周期は質量の平方根に比例し、ばねの硬さの平方根に反比例します。質量を4倍にすると周期は2倍になり、ばね定数を4倍にすると周期は半分になります。柔らかいばねに重いおもりならゆっくり、硬いばねに軽いおもりなら速く振動します。

振り子（ペンデュラム）とは何が違いますか？

どちらも単振動ですが、復元力の源が異なります。振り子は重力で戻されるため、周期は長さと現地の重力で決まり、質量によりません。ばね振り子はばねで戻されるため、周期は質量とばね定数で決まり、無重力でも同じように動きます。だからこそ宇宙機や時計の調速機には振り子ではなくばね振動子が使われます。

振幅によって周期は変わりますか？

フックの法則に従う理想的なばねなら変わりません。周期は質量とばね定数だけで決まり、おもりをどれだけ引いてから放すかには依存しません。この振幅に依らない性質（等時性）は単振動を特徴づけるもので、ばね振り子が一定のリズムを刻む理由です。ばねを伸ばしすぎて線形でなくなったときだけ成り立たなくなります。