最終更新: 2026-07-01

放射性崩壊

放射性崩壊とは、不安定な原子核が自発的に壊れていく現象です。個々の原子核が崩壊する瞬間はランダムですが、単位時間あたりの確率は一定なので、多数の原子核の集まりは滑らかで予測可能な形で減っていきます。その集団的なふるまいを表すのが指数関数的な崩壊則です。

$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$

この計算ツールは初期量 $N_0$、半減期 $t_{1/2}$、経過時間 $t$ を入力として、残存量 $N$、崩壊定数 $\lambda$、残存割合、経過した半減期の回数を返します。

モデルの考え方

同じ崩壊を2つの定数で言い換えることができます。半減期 $t_{1/2}$ は試料の半分が崩壊するまでの時間、崩壊定数 $\lambda$ は1個の原子核が単位時間あたりに崩壊する確率です。指数関数則で $N/N_0 = \tfrac{1}{2}$ とおくと、両者の関係が得られます。

$$\tfrac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$

半減期ごとに残りが半分になるので、この法則は「半分にする」ことを明示した形に書き換えられます。経過した半減期の回数を $n = t / t_{1/2}$ とすると、

$$N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$$

2つの形は同じものです。指数 $e^{-\lambda t}$ はどんな経過時間でも滑らかに扱え、$(\tfrac{1}{2})^{n}$ の形は $n$ が整数のときに読み取りやすくなります。

数式

量	記号	定義
残存量	$N$	$N = N_0\,e^{-\lambda t}$
崩壊定数	$\lambda$	$\lambda = \ln 2 / t_{1/2}$
残存割合	$f$	$f = N / N_0 = (\tfrac{1}{2})^{n}$
経過した半減期	$n$	$n = t / t_{1/2}$
放射能	$A$	$A = \lambda N$

残存割合は半減期の回数 $n$ だけで決まり、初期量には依存しません。だからこそ百分率が最も汎用的な表し方になります。

計算例

初期量 $N_0 = 1000$ 個、半減期 $t_{1/2} = 10$ 年の同位体があります。$t = 25$ 年後に何個残るでしょうか。

手順1 — 崩壊定数:

$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.6931}{10\ \text{年}} \approx 0.06931\ \text{年}^{-1}$$

手順2 — 経過した半減期:

$$n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{25}{10} = 2.5$$

手順3 — 残存量:

$$N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} = 1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 177\ \text{個}$$

手順4 — 残存割合:

$$f = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 0.1768 = 17.68\%$$

25年後、元の1000個のうちおよそ177個がまだ崩壊せずに残っています。

整数回の半減期後の残存割合

半減期 $n$	残存割合	百分率
0	1	100%
1	1/2	50%
2	1/4	25%
3	1/8	12.5%
4	1/16	6.25%
10	1/1024	0.098%

放射能：崩壊の速さ

試料の放射能は単位時間あたりの崩壊数 $A = \lambda N$ です。単位はベクレル（1 Bq = 毎秒1崩壊）やキュリー（1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq）が使われます。放射能は残存原子核数に比例するため、同じ半減期の指数関数曲線に従います。放射能が元の半分になった線源は、同位体によらずちょうど1半減期を経ています。

実際の応用

崩壊則は放射年代測定の土台です。放射性炭素年代測定では、かつて生きていた試料が死後に炭素14の取り込みを止め、以後は半減期5730年で崩壊します。残った割合を測って $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ を $t$ について解くと年代が求まります。炭素14が25%まで減った試料は2半減期を経ており、約11,460年前のものです。同じ数学は医療用同位体の投与スケジュール、放射性廃棄物の保管期間、ウランやカリウム同位体による地質学の長時間スケールの年代決定にも用いられます。

限界：単一の崩壊経路と大きな試料

指数関数則は、崩壊定数が一定の単一の崩壊経路と、統計平均が成り立つほど大きな試料を前提とします。ある崩壊の生成物がさらに放射性で失われた分を部分的に補う崩壊系列そのものは、この式だけでは追えません。そうした場合には連立したベイトマン方程式が必要です。安定な生成物へ崩壊する単一の同位体で、原子核数が十分多い試料であれば、上の式は厳密です。

よくある質問 (FAQ)

放射性崩壊とは何ですか？

放射性崩壊とは、不安定な原子核が自発的に別の原子核やエネルギー状態へ変化し、その過程で放射線を放出する現象です。個々の原子核はランダムな時刻に崩壊しますが、単位時間あたりの確率は一定なので、多数の原子核からなる試料は滑らかな指数関数則 N(t) = N₀·e^(−λt) に従います。

この崩壊は「記憶を持たない」性質があり、まだ崩壊していない原子核が新しい原子核より崩壊しやすくなることはありません。だからこそ、残存割合は試料の履歴ではなく経過時間だけで決まります。

半減期と崩壊定数はどう関係しますか？

半減期 t½ は試料の半分が崩壊するまでの時間、崩壊定数 λ は1個の原子核が単位時間あたりに崩壊する確率です。両者は同じ現象を別の言葉で表しており、λ = ln2 / t½（ln2 ≈ 0.6931）で結ばれています。

半減期が短いほど崩壊定数は大きく（速い崩壊）、半減期が長いほど崩壊定数は小さくなります。λ = ln2 / t½ なので、半減期を2倍にすると崩壊定数は半分になります。

試料の放射能とは何ですか？

放射能 A は崩壊が起こる割合で、A = λN と表されます。単位はベクレル（1 Bq = 毎秒1崩壊）やキュリー（1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq）です。残存原子核数 N に比例するため、放射能自体も同じ半減期で指数関数的に減少します：A(t) = A₀·e^(−λt)。

この計算ツールから放射能を見積もるには、N を原子核数で表したうえで崩壊定数 λ と残存量 N を掛け合わせます。

放射性炭素年代測定にはどう使いますか？

生きている生物は炭素14と炭素12の比を一定に保っています。生物が死ぬと炭素14の取り込みが止まり、以後は半減期約5730年で崩壊していきます。残った炭素14の量を測り、N = N₀·e^(−λt) を経過時間 t について解くと試料の年代が求まります。

たとえば炭素14が元の25%まで減った試料は2半減期を経ているので、およそ 2 × 5730 ≈ 11,460 年前のものだとわかります。