最終更新: 2026-07-01

連続の式

連続の式は、流れる流体に対する質量保存を表したものです。もっとも一般的な形では、管路や水路を流れる定常・非圧縮性の流れに対して、各断面を毎秒通過する流体の体積が流れに沿ってどこでも等しいことを述べています。この一つの考え方が、ホースの先を絞ると水が速く噴き出す理由や、川が狭い渓谷で速く流れる理由を説明します。

式

管路の2つの断面の間で定常・非圧縮性の流れを考えると、体積流量は一定です。

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$

ここで $A$ は断面積、$v$ はその断面の平均流速、$Q$ は体積流量です。下流側の流速について解くと、この計算機が用いる形になります。

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

流量は単純に次の通りです。

$Q = A_1 v_1$

流体は溜まることも消えることもできないため、断面積が小さくなるほど流速は比例して大きくなります。

記号一覧

計算例

面積と流速のトレードオフ

流量 $Q = A v$ が一定であるため、面積と流速は管路に沿って反比例します。面積を半分にすれば流速は2倍になり、4倍に広げれば流速は4分の1に落ちます。円管では直径で見るとこの結びつきはさらに強く、面積は直径の2乗に比例するため($A = \pi d^2/4$)、直径を半分にすると面積は4分の1になり、流速は4倍になります。これが $v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2$ という近道です。

連続の式からベルヌーイの式へ

連続の式は形状だけから各断面の流速を教えてくれますが、圧力については何も述べません。そこを引き継ぐのがベルヌーイの式です。連続の式が流速変化を決めると、ベルヌーイの式がそれを圧力変化と結びつけます。絞りでは連続の式が流体を加速させ、ベルヌーイの式はそこで静圧が下がると予測します。この組み合わせがベンチュリ効果や、圧力差から流量を求めるベンチュリ管・オリフィス流量計の原理です。

圧縮性流れ

単純な形 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ は密度が一定のときにのみ成り立ちます。密度が顕著に変化するほど速く流れる気体では(おおむねマッハ 0.3 以上)、保存されるのは体積流量ではなく質量流量です。

$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$

この領域では面積と流速の関係が逆転することさえあり、超音速ノズルが流れを加速するために細くではなく広がっていくのはこのためです。この計算機が対象とする日常的な液体や低速の気体では、非圧縮性の形が非常に良い近似となります。