最終更新: 2026-07-01

ハーゲン・ポアズイユ流れ

ハーゲン・ポアズイユの式は、粘性のある流体が細い管をどのように流れるかを表します。体積流量を、流体を押し流す圧力、粘度による流れの抵抗、管の形状と結びつけるもので、水力学・化学工学・マイクロ流体工学、そして血液循環の生理学において基本となる関係式です。

式

断面が一定の長い直円管を、非圧縮性ニュートン流体が定常・層流で流れる場合、体積流量は次のように表されます。

$Q = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}$

ここで $Q$ は体積流量、$r$ は内半径、$\Delta P$ は管両端の圧力差、$\mu$ は粘度、$L$ は管長です。流量は駆動圧力と半径の4乗に比例して増え、粘度や長さが増すと減少します。

記号一覧

計算例

半径の4乗への依存

この式の最も際立った特徴は、流量が $r^4$ に比例することです。そのため、半径は管の寸法のなかで最も重要です。

• 半径を2倍にすると、流量は $2^4 = 16$ 倍になります。
• 半分にすると、もとの $1/16$ に減ります。
• 半径が10%小さくなると、流量は約34%低下します。

この鋭敏さは、動脈が少し狭まるだけで血流が大きく変わる理由、配管がわずかに詰まるだけで流量の大半が失われる理由、そしてマイクロ流路が精密な寸法管理を必要とする理由を説明します。また、あらゆる計算において半径の測定が不確かさを支配することも意味します。小さな測定誤差が4乗に増幅されるためです。

適用範囲と限界

この式は層流、すなわち流体の層が互いに滑らかにすべる流れを前提とします。流れが層流にとどまるかどうかはレイノルズ数で決まり、円管ではおおむねレイノルズ数2300付近から乱流への遷移が始まります。それを超えると乱れた混合が抵抗を増し、圧力と流量の線形関係が崩れるため、ダルシー・ワイスバッハの式などの経験式が用いられます。

そのほかの前提は、ニュートン流体（粘度一定）、非圧縮性、断面一定の円形、管壁での滑りなし条件、そして十分に発達した速度分布です。最後の条件は、入口付近の入口効果が無視できるように、管が直径に比べて十分に長いことを要求します。とくに血液は非ニュートン流体であるため、この式は生理的な血流に対しては第一近似を与えるにとどまります。

関連する計算

層流の前提が妥当かを確かめるには、流れのレイノルズ数を計算します。ポアズやセンチポアズとPa·sなど、粘度の単位を換算するには粘度換算が便利です。また、粘性を無視した理想流れで圧力・速度・高さを結びつけるには、ベルヌーイの式が対になる関係式となります。