最終更新: 2026-07-01

ストークスの法則

ストークスの法則は、粘性流体の中をゆっくり運動する小さな球にはたらく抗力を表します。高速で走る自動車や航空機の抗力とは異なり、この力は速度に正比例します。流体の慣性ではなく粘性が支配的だからです。この法則は、沈降分析、エアロゾル科学、落球法による粘度測定、雨滴や沈降粒子の物理を支えています。

式

無限に広い非圧縮性ニュートン流体の中を、小さな剛体球がゆっくり運動するとき、粘性抗力は次のようになります。

$F = 6\pi\, \mu\, r\, v$

ここで $F$ は抗力、$\mu$ は流体の粘度、$r$ は球の半径、$v$ は流体に対する相対速度です。力は運動の向きと逆向きにはたらきます。$v$ に対して線形なので、速度を2倍にすると抗力も2倍になります。これは低速・粘性支配の領域に特有の性質です。

記号一覧

計算例

抗力が速度に比例する理由

日常のスケールでは、物体が流体を押しのける際の慣性の代償が速度とともに急激に増すため、抗力は速度の2乗に比例します。粘性流体中の小さく遅い球ではようすが異なります。慣性は無視でき、抗力はほぼ球の周りの流体層の粘性せん断だけから生じます。その結果、力は速度に対して線形にしか増えません。この2つの領域を分ける目安がレイノルズ数で、慣性力と粘性力の比を表します。ストークスの法則はこの数が1をはるかに下回るときに成り立ちます。

沈降と終端速度

ストークスの法則の最も一般的な用途は、粒子が流体中を重力で沈降する速さを求めることです。粒子が落ちるにつれて抗力は速度とともに増し、正味の下向きの力（重量から浮力を引いたもの）とつり合います。その時点で粒子は一定の終端（沈降）速度で運動します。

$v_t = \frac{2\, r^2\, (\rho_p - \rho_f)\, g}{9\, \mu}$

ここで $\rho_p$ と $\rho_f$ はそれぞれ粒子と流体の密度、$g$ は重力加速度です。この沈降速度の関係は、沈降槽での粒子の分級、遠心分離データの解釈、空気中に浮遊する粉塵や液滴の滞留時間の見積もりに使われます。

適用範囲と限界

ストークスの法則はクリープ流れ、すなわちレイノルズ数が1をはるかに下回ることを前提とします。球は小さく、剛体で滑らかであること、流体はニュートン流体で非圧縮性であること、流れは定常で層流であることが必要です。また球は壁面や他の粒子から十分に離れており、周囲の流体が実質的に無限に広いことも仮定します。

これらの条件が崩れる場合（粒子が大きい、速度が速い、懸濁液が密である）、法則の精度は下がります。レイノルズ数が1に近づくと、慣性の影響で実際の抗力はストークスの法則の予測より大きくなり、オゼーン近似や経験的な抗力曲線による補正が必要になります。高レイノルズ数では流れは慣性支配となり、2乗則の抗力式 $F = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A$ が完全に取って代わります。

関連ツール

クリープ流れの前提が成り立つかを確認するには、球についてレイノルズ数の計算を求め、1を下回ることを確かめます。抗力と重力がつり合った一定の沈降速度を求めるには終端速度の計算を使います。より高速な慣性支配の流れには、一般的な抗力の計算が対応します。