最終更新: 2026-07-01

理想気体がする仕事

気体が膨張すると、ピストンや大気、風船の壁といった周囲のものを押します。この押す力が距離にわたって作用することが力学的な仕事です。仕事の大きさは、始めと終わりの体積だけでなく、その間にたどる経路にも依存します。この計算では、代表的な二つの準静的な経路——温度一定の等温過程と、圧力一定の等圧過程——について、理想気体がする仕事を求めます。本文では既定の等温モードを追いますが、等圧モードは後述の圧力一定の式を用います。

式の由来

ゆるやかな体積変化に対して、気体がする仕事は圧力–体積（PV）図における過程曲線の下の面積に等しくなります。

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P\, dV$$

曲線の形——つまり面積——は、何を一定に保つかで決まります。

等温過程。 温度一定では理想気体は $PV = nRT$ に従い、体積が増えると圧力は下がります（$P = nRT/V$）。これを代入して積分すると次の式が得られます。

$$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\, dV = nRT \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

自然対数が現れるのは、それが $1/V$ の積分だからです。

等圧過程。 圧力一定では曲線は水平な直線となり、その下の面積は単純な長方形になります。

$$W = P\left(V_2 - V_1\right)$$

計算式

量	記号	意味
等温過程の仕事	$W$	$W = nRT \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$
等圧過程の仕事	$W$	$W = P\left(V_2 - V_1\right)$
物質量	$n$	モル数
温度	$T$	絶対温度（ケルビン）
圧力	$P$	一定の圧力（等圧）
初期・最終体積	$V_1,\ V_2$	変化前後の体積

気体定数は $R = 8.314463\ \text{J/(mol·K)}$ です。温度はケルビンで比に入り、体積を立方メートル、圧力をパスカルでとると仕事はジュールで得られます。

計算例

1 mol の理想気体が $T = 300\ \text{K}$ で $V_1 = 1\ \text{L}$ から $V_2 = 2\ \text{L}$ まで等温膨張する場合を考えます。

$$\begin{aligned} W &= nRT \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ &= 1 \times 8.314463 \times 300 \times \ln\!\left(\frac{2}{1}\right) \\ &= 2494.34 \times 0.693147 \\ &= 1728.94\ \text{J} \end{aligned}$$

気体は周囲におよそ $1729\ \text{J}$ の仕事をします。比較として、同じ気体を $101.325\ \text{kPa}$ で一定に保ちつつ同じく $1\ \text{L}$（1 L から 2 L まで）膨張させると、等圧過程の仕事は $P\,\Delta V = 101{,}325 \times 0.001 = 101.3\ \text{J}$ となり、こちらの方がずっと小さくなります。等圧の経路ではその膨張の間の平均圧力が低いためです。

符号の取り方

この結果は気体がする仕事です。膨張（$V_2 > V_1$）ではエネルギーが外へ移るため正、圧縮では負になります。教科書によっては気体がされる仕事を表示し、符号が逆になります。第一法則は、気体がする仕事を用いる流儀では $\Delta U = Q - W$、気体がされる仕事を用いる流儀では $\Delta U = Q + W$ と書かれるので、どちらの流儀かを確認しておくとよいでしょう。

適用範囲

いずれの式も、理想気体が可逆な準静的過程をたどることを仮定します。すなわち、気体が平衡に近い状態を保つほどゆっくり変化し、単一の圧力と温度で全体を記述できる場合です。実在気体は高圧や凝縮に近い状態で $PV = nRT$ からずれ、急激な変化や乱れた変化は準静的ではありません。断熱過程（熱の出入りがない）や等積過程（体積一定で気体は仕事をしない）など、他の経路は別の式に従い、この二つのモードの対象外です。

よくある質問 (FAQ)

気体がする仕事とは何ですか

気体が膨張すると周囲を押し、その力が距離にわたって作用することで力学的な仕事が生じます。体積変化に伴う仕事は、圧力–体積（PV）図における過程曲線の下の面積 W = ∫P dV に等しくなります。膨張では気体から外界へエネルギーが移るため仕事は正、圧縮では外界から気体へ仕事がなされるため負になります。

等温過程と等圧過程の違いは何ですか

等温過程では温度が一定で、気体が膨張すると PV = nRT に沿って圧力が下がり、仕事は W = nRT·ln(V₂/V₁) となります。等圧過程では圧力が一定なので PV 図は水平な直線となり、仕事は長方形 W = P(V₂ − V₁) です。同じ初期状態・同じ体積変化でも、曲線の下の面積が異なるため、二つの経路で仕事は一般に異なります。

仕事の符号は正ですか負ですか

この計算では気体がする仕事を表示します。膨張（V₂ が V₁ より大きい）ではエネルギーが外へ移るため正、圧縮では負です。教科書によっては気体がされる仕事を表示し、符号が逆になります。熱力学第一法則は、ここでの流儀では ΔU = Q − W と書かれます。

等温過程の式に自然対数が現れるのはなぜですか

等温膨張では圧力は一定ではなく、PV = nRT から P = nRT/V となります。この式を用いて P dV を V₁ から V₂ まで積分すると nRT·∫(1/V) dV = nRT·ln(V₂/V₁) となります。自然対数は 1/V の積分そのものであり、圧力が体積に反比例するときに現れます。