最終更新: 2026-07-01

倍率の計算

倍率は、できた像が元の物体に比べてどれだけ大きいか、そして向きがどちらかを表します。薄いレンズや球面鏡では横倍率は $m = -\frac{d_i}{d_o}$ で与えられ、$d_o$ は物体距離、$d_i$ は像距離です。同じ値は高さの比 $m = \frac{h_i}{h_o}$ にも等しく、倍率が分かれば像の高さは $h_i = m\,h_o$ で求められます。

この計算では物体距離・像距離・物体の高さを入力し、倍率と像の高さ、さらに像が正立か倒立か、拡大か縮小かを返します。

符号の意味

倍率は二つの情報を同時に含みます。絶対値は像が物体の何倍の大きさかを表し、2 なら 2 倍、0.5 なら半分です。符号は向きを表し、負なら倒立(上下反転)、正なら正立です。

像距離が正なら実像で、レンズでは反対側、鏡では反射面の前方にでき、スクリーンに投影できます。実像はつねに倍率が負で倒立します。像距離が負なら物体と同じ側にできる虚像で、ルーペで見る像のように倍率が正で正立します。

公式

量	記号	意味
物体距離	$d_o$	物体からレンズ・鏡までの距離(正)
像距離	$d_i$	像までの距離。実像で正、虚像で負
物体の高さ	$h_o$	光軸から測った物体の高さ(正)
倍率	$m$	$m = -\frac{d_i}{d_o} = \frac{h_i}{h_o}$
像の高さ	$h_i$	$h_i = m\,h_o$

計算例

カメラのレンズが高さ 5 cm の物体の像をつくります。物体はレンズの 30 cm 前にあり、像は 15 cm 後ろにできるので、$d_o = 30\ \text{cm}$、$d_i = 15\ \text{cm}$、$h_o = 5\ \text{cm}$ です。倍率は次のようになります。

$$\begin{aligned} m &= -\frac{d_i}{d_o} \\ &= -\frac{15}{30} \\ &= -0.5 \end{aligned}$$

像の高さは次のとおりです。

$$h_i = m\,h_o = (-0.5)(5\ \text{cm}) = -2.5\ \text{cm}$$

絶対値 0.5 は像が物体の半分の大きさであることを、負号は倒立を表します。カメラが景色をセンサー上に結像するときと同じです。

レンズと鏡

横倍率はレンズでも球面鏡でも同じ形で、それぞれの像距離の符号規約に従えば成り立ちます。焦点距離と物体距離しか分からない場合は、まず薄いレンズの式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$(レンズ)や同じ形の鏡の式から像距離を求め、ここで倍率を読み取ります。

限界

関係式 $m = -\frac{d_i}{d_o}$ は、光軸に近く小さな角度で進む近軸光線と、厚みを無視できるほど薄いレンズを仮定しています。実際の光学系では収差により軸から離れるほど像の大きさや形がゆがむため、精密な設計ではこれらを別途扱う必要があります。日常的な見積もりには単純な倍率の式で十分です。

よくある質問 (FAQ)

倍率の式は?

薄いレンズや鏡の横倍率は m = −dᵢ/dₒ で、像距離と物体距離の比に負号を付けたものです。高さの比 m = hᵢ/hₒ にも等しいため、像の高さは hᵢ = m·hₒ で求められます。絶対値が像の拡大・縮小の度合いを、符号が向きを表します。

符号の規約は?

物体距離と物体の高さは正とします。像距離が正なら実像(レンズでは反対側、鏡では前方)で、倍率は負となり像は倒立します。像距離が負なら物体と同じ側にできる虚像で、倍率は正となり像は正立します。像の高さが負の場合も上下反転を表します。

像の高さの求め方は?

物体の高さに倍率を掛けます: hᵢ = m·hₒ。たとえば高さ 5 cm の物体で倍率が −0.5 なら、像の高さは 2.5 cm で、倍率が負のため倒立します。像の高さの絶対値が実際の大きさで、符号が向きを示します。

レンズと鏡で同じ式が使えますか?

はい。横倍率 m = −dᵢ/dₒ は薄いレンズでも球面鏡でも同じ形で、それぞれの像距離の符号規約に従えば成り立ちます。レンズでは実像が反対側に、鏡では反射面の前方にできます。いずれも像距離が正なら実像で倒立、負なら虚像で正立になります。