最終更新: 2026-07-13

ケプラーの第三法則

ケプラーの第三法則は、軌道を表す3つの量――中心天体からの距離、その中心天体の質量、一周にかかる時間――を結びつけます。ニュートンの形で書くと $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ となり、周期の2乗は距離の3乗に比例して大きくなります。この計算機はこの1つの関係を3通りに解き、距離と質量から周期を求めたり、既知の周期から軌道距離を逆算したり、観測した軌道から中心天体の質量を量ったりできます。

公式と3つの形

ここで $a$ は軌道長半径（平均的な軌道距離。円軌道ならそのまま半径）、$M$ はまわられる側の天体の質量、$G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ は万有引力定数です。まわる側の天体の質量は式に現れないので、同じ星から同じ距離にある塵の粒と衛星は、まったく同じ時間で一周します。

天文単位系の近道

ケプラーの第三法則が惑星に対して使いやすいのは、単位のうまい選び方のおかげです。距離を天文単位（1 AU は地球–太陽間の距離）、質量を太陽質量（1 M☉ は太陽の質量）、時間を年で測ると、$4\pi^2/(GM)$ のかたまりが $1/M$ になります。すると法則は次のようになります。

ここで $T$ は年、$a$ は AU、$M$ は太陽質量です。この計算機は内部でこの形を使っているため、初期値（地球の軌道）はきれいな答えを返します。

計算例：地球と太陽

地球の軌道長半径は $a = 1\ \text{AU}$、中心天体の質量は $M = 1\ \text{M}_\odot$ です。

同じ数値を完全な SI 単位――$a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$、$M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$――で $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$ に入れると約 $3.156\times10^{7}\ \text{s}$、すなわち誤差わずかで1年になります。天文単位系はこの計算を隠してくれているだけです。

計算例：外惑星

a³ のスケーリングこそ、外側の太陽系がゆっくり動く理由です。木星は約 $a = 5.20\ \text{AU}$ にあるので、

となり、木星の実際の11.86年の公転周期と一致します。約30 AU の海王星では $\sqrt{30^3} \approx 164$ 年もかかり、海王星の1年は、その存在が科学的に知られてからの年月より長いほどです。

星の重さを量る

逆に使えば、ケプラーの第三法則は天文学で最も重要な道具の1つになります。決してはかりに載せられない質量を測れるのです。伴う天体――星をまわる惑星、ブラックホールをまわる星――の周期と軌道長半径を観測できれば、$M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ が、その中心にある天体の質量を与えます。太陽の質量も、系外惑星の主星の質量も、天の川銀河中心の超大質量ブラックホールの質量も、こうして求められました。

前提と限界

ここで使う法則は、一方の天体が他方よりはるかに重く、中心天体は実質的に静止したまま小さいほうがまわる、という前提に立っています。同程度の2つの質量――たとえば連星――では、式の $M$ は2つの質量の和であり、両方の天体が共通重心のまわりをまわります。またこの結果は理想的な二体問題の値であり、他の惑星の引力、実際の天体のわずかなつぶれ、相対論効果は無視しています。これらは長い時間をかけて、実際の軌道にゆっくりとした小さなずれを生みます。