最終更新: 2026-07-01

定義

質点系の重心とは、各質点の位置を質量で重みづけした平均であり、運動の観点からは全質量がそこに集中しているかのようにふるまう1点です。直線上に並んだ物体について、各質量とその位置を入力すると、この計算では x_cm = Σ(mᵢxᵢ) ÷ Σmᵢ を返します。最大4つの質点に対応します。

公式

$$x_{cm} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$$

各質量 mᵢ にその位置 xᵢ を掛け、積の総和を全質量で割ります。重い物体ほど積が大きくなり、その分だけ重心を自分の位置へ引き寄せます。すべての質量が等しい場合、公式は位置の単純平均 (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n、すなわち幾何学的な中点に簡約されます。

位置は1本の軸に沿って測るので負の値もとり得ます。原点の取り方は物理に影響しません。すべての位置を同じ量だけずらすと、重心もちょうど同じ量だけずれます。

計算例 — 2つの物体

x = 0 m に2 kgの球、x = 5 m に3 kgの球があるとします。

全質量: 2 + 3 = 5 kg

重みづけ和: 2 × 0 + 3 × 5 = 0 + 15 = 15 kg·m

重心: 15 ÷ 5 = 3 m

重心は3 mに位置し、中点の2.5 mより右、すなわち重い3 kgの球に近い側にきます。直感どおりの結果です。

計算例 — 3つの物体

レール上に3つの質量が並んでいます。

物体	質量 (kg)	位置 (m)	m × x
A	2	0	0
B	3	1	3
C	5	2	10

全質量: 2 + 3 + 5 = 10 kg

重みづけ和: 0 + 3 + 10 = 13 kg·m

重心: 13 ÷ 10 = 1.3 m

x = 2 m にある5 kgの質量が支配的なため、重心は3つの位置の幾何学的中点(1.0 m)を大きく超えて右側へ引き寄せられます。

計算例 — 負の位置を使う

原点を間に置き、x = −3 m に4 kgのブロック、x = 2 m に1 kgのブロックを配置します。

全質量: 4 + 1 = 5 kg

重みづけ和: 4 × (−3) + 1 × 2 = −12 + 2 = −10 kg·m

重心: −10 ÷ 5 = −2 m

結果は負で、重いブロックと同じ側にきます。これは、重心がどの物体とも一致する必要はなく、また必ずしも正の値になるとは限らないことを示しています。重心は単に質量が集中している位置を表します。

重心と図心の違い

図心は、すべての点を等しく扱う純粋に幾何学的な位置の平均です。一方、重心は各位置をその質量で重みづけします。両者が一致するのは質量がすべて等しいときだけで、質量が異なると重心は重い物体側へ移動し、図心は幾何学的中心にとどまります。

未使用の欄について

この計算では最大4組の質量・位置の組を扱えます。物体が少ない場合は、余った質量を0のままにします。質量が0の組は全質量にも重みづけ和にも寄与しないため、その位置は無視されます。全質量は0より大きい必要があり、質量がまったくない場合は重心は定義されません。

よくある質問 (FAQ)

重心とは何ですか?

重心とは、系の全質量がそこに集中しているかのように運動する1点のことです。直線上に並んだ質点では、位置を質量で重みづけした平均、すなわち x_cm = Σ(mᵢxᵢ) ÷ Σmᵢ で求められます。重い物体ほど重心を自分の近くへ引き寄せ、軽い物体の影響は小さくなります。すべての質量が等しいときは、重心は位置の単純平均、つまり幾何学的な中点に一致します。

2つの物体の重心はどう求めますか?

各質量にその位置を掛け、2つの積を足し合わせて、合計質量で割ります: x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) ÷ (m₁ + m₂)。たとえば x = 0 m にある2 kgの球と x = 5 m にある3 kgの球では、x_cm = (2×0 + 3×5) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3 m となり、予想どおり重い球の側に寄ります。2組を入力し、残りの欄は0のままにします。

物体が4つ未満のときはどうしますか?

使わない質量は0のままにします。質量が0の項は全質量にも重みづけ和にも寄与しないため、その位置は無視されます。この計算では1〜4個の質点を扱えます。質点が1つだけの場合、重心はその物体の位置そのものになります。

重心と図心(重心の幾何学版)は同じですか?

両者が一致するのは質量が一様に分布している場合だけです。図心は質量を無視した純粋に幾何学的な位置の平均で、重心は各位置を質量で重みづけしたものです。質量が等しい物体では両者は同一ですが、質量が異なるとき重心は重い物体側へ移動し、幾何学的な中心とは一致しなくなります。