Skip to content
作成日: 2026年7月20日 21:33

弾性衝突の計算

入力

質量12 kg
初速度13 m/s
質量24 kg
初速度2-1 m/s

OneCalc で作成 · https://onecalc.app/ja/physics/elastic-collision

物理

弾性衝突の計算

2物体の1次元弾性衝突を解きます。各物体の質量と初速度を入力すると、衝突後の2つの速度に加え、運動量と運動エネルギーの保存も確認できます。

入力

結果

値を入力すると計算結果が表示されます。

\begin{aligned} v_1 &= \dfrac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(2\,\text{kg} - 4\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right) + 2\left(4\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}
\begin{aligned} v_2 &= \dfrac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(4\,\text{kg} - 2\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right) + 2\left(2\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}

詳細

kg·m/s
kg·m/s

この計算機を埋め込む

プレビュー

このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。

この計算を共有

このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。

1次元の弾性衝突

弾性衝突とは、運動量と運動エネルギーがともに保存される衝突のことです。熱・音・変形にエネルギーが失われないため、2つの物体は持ち込んだ運動エネルギーをそのまま保って離れていきます。ビリヤードの球のような硬い球、気体分子、衝突する素粒子はいずれもほぼ完全弾性です。この計算では、1本の直線上にある2物体の質量と初速度から、衝突後の2つの速度を求め、保存則を直接確認できるよう衝突前後の運動量と運動エネルギーも表示します。

すべてが1つの軸上で起こるため、速度は符号付きの数で表します。一方の向きを正に選ぶと、反対向きに動く物体は負の値になります。

2つの保存則

1次元の弾性衝突は2つの式に支配されます。運動量保存：

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2

そして運動エネルギー保存：

12m1u12+12m2u22=12m1v12+12m2v22\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2

この2式を未知の衝突後速度 v1v_1・v2v_2 について解くと、計算で用いる閉じた形が得られます。

v1=(m1−m2) u1+2m2u2m1+m2,v2=(m2−m1) u2+2m1u1m1+m2v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2 = \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2}

同じ計算から有用な事実が導かれます。弾性衝突では接近の相対速度と分離の相対速度が等しく、u1−u2=−(v1−v2)u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2) が成り立ちます。物体は近づいてきたのと同じ速さで離れていきます。

知っておきたい特別な場合

状況結果
質量が等しい（m1=m2m_1 = m_2）2物体は速度を交換する：v1=u2v_1 = u_2、v2=u1v_2 = u_1。
軽い物体が重い壁に当たる（m2≫m1m_2 \gg m_1、u2=0u_2 = 0）軽い物体はほぼ同じ速さで跳ね返る：v1≈−u1v_1 \approx -u_1。
重い物体が軽い物体に当たる（m1≫m2m_1 \gg m_2、u2=0u_2 = 0）重い物体はほとんど減速せず、軽い物体は約 2u12u_1 で飛び出す。

質量が等しい場合はニュートンのゆりかごや正面からのビリヤードの原理です。手球は止まり、当てられた球が手球の速さで進み出します。

計算例

2 kg の台車が右へ 3 m/s で進み、左へ 1 m/s で近づく 4 kg の台車に衝突します（u2=−1u_2 = -1 m/s）。右向きを正とすると：

v1=(m1−m2) u1+2m2u2m1+m2=(2−4)(3)+2(4)(−1)2+4=−6−86≈−2.33 m/s\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(2 - 4)(3) + 2(4)(-1)}{2 + 4} \\ &= \frac{-6 - 8}{6} \approx -2.33\ \text{m/s} \end{aligned} v2=(m2−m1) u2+2m1u1m1+m2=(4−2)(−1)+2(2)(3)2+4=−2+126≈1.67 m/s\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 4} \\ &= \frac{-2 + 12}{6} \approx 1.67\ \text{m/s} \end{aligned}

軽い台車は跳ね返り（v1v_1 が負）、重い台車は向きを変えて右へ進みます。確認すると、衝突前の運動量は 2(3)+4(−1)=22(3) + 4(-1) = 2 kg·m/s、衝突後は 2(−2.33)+4(1.67)=22(-2.33) + 4(1.67) = 2 kg·m/s。運動エネルギーは衝突前が 12(2)(32)+12(4)(12)=11\tfrac{1}{2}(2)(3^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1^2) = 11 J、衝突後が 12(2)(2.332)+12(4)(1.672)=11\tfrac{1}{2}(2)(2.33^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1.67^2) = 11 J。弾性衝突が要求するとおり、どちらも保たれています。

4 lb のグライダーが 10 ft/s で進み、3 ft/s で近づいてくる 8 lb のグライダーに衝突します（u2=−3u_2 = -3 ft/s）。1つ目のグライダーの向きを正とすると：

v1=(m1−m2) u1+2m2u2m1+m2=(4−8)(10)+2(8)(−3)4+8=−40−4812≈−7.33 ft/s\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 8)(10) + 2(8)(-3)}{4 + 8} \\ &= \frac{-40 - 48}{12} \approx -7.33\ \text{ft/s} \end{aligned} v2=(m2−m1) u2+2m1u1m1+m2=(8−4)(−3)+2(4)(10)4+8=−12+8012≈5.67 ft/s\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(8 - 4)(-3) + 2(4)(10)}{4 + 8} \\ &= \frac{-12 + 80}{12} \approx 5.67\ \text{ft/s} \end{aligned}

軽いグライダーは跳ね返り、重いグライダーは1つ目の元の向きへ進みます。分離の相対速度（5.67−(−7.33)=135.67 - (-7.33) = 13 ft/s）は、接近の相対速度（10−(−3)=1310 - (-3) = 13 ft/s）に等しく、弾性衝突の性質どおりです。

このモデルが当てはまる場面

現実の衝突が完全に弾性であることはまれで、運動エネルギーの一部はほぼ必ず熱や音として逃げます。弾性の式は、その損失が無視できるときに正しい道具となります。鋼球、ばねや磁石のバンパーを備えたほぼ無摩擦のエアトラック、原子スケールの散乱などです。物体がくっついたり目に見えて変形したりする場合は非弾性衝突であり、運動エネルギーは保存されないため、これらの式は使えません。ここで表示する衝突前後の運動量は孤立衝突なら常に等しくなります。運動エネルギーの組が等しいことこそ、弾性衝突を見分ける目印です。

よくある質問 (FAQ)

弾性衝突とは何ですか？

弾性衝突とは、全運動量と全運動エネルギーがともに保存される衝突のことです。熱・音・永久変形にエネルギーが失われないため、物体は衝突前と同じ運動エネルギーを保ったまま離れていきます。ビリヤードの球のような硬い球どうしの衝突や、原子・素粒子どうしの衝突はほぼ完全弾性です。日常の衝突の多くは部分的に非弾性ですが、弾性衝突はその理想的な極限モデルです。

1次元弾性衝突の衝突後速度の式は？

質量 m₁・m₂、初速度 u₁・u₂ の2物体について、衝突後の速度は v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂)、v₂ = ((m₂ − m₁)u₂ + 2m₁u₁)/(m₁ + m₂) です。これは運動量の式 m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ と、運動エネルギーの式 ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² を連立して解いた結果です。速度には符号があるので、正の向きを一貫させてください。

同じ質量どうしが弾性衝突するとどうなりますか？

m₁ = m₂ のとき、式は v₁ = u₂、v₂ = u₁ に簡単化され、2物体は速度を交換します。動いている球が静止した同質量の球に当たると、最初の球は止まり、2つ目の球が元の速度で進み出します。ニュートンのゆりかごや、正面からのビリヤードのショットでおなじみの結果です。

弾性衝突と非弾性衝突はどう違いますか？

どちらも運動量は保存しますが、運動エネルギーまで保存するのは弾性衝突だけです。非弾性衝突では運動エネルギーの一部が熱や変形に変わり、完全非弾性衝突では物体どうしがくっついて1つの塊として動きます。この計算では完全弾性衝突を仮定するため、表示される衝突前と衝突後の運動エネルギーは常に一致します。

次のおすすめ

運動量と力積の計算

運動量（p = m·v）、力積（J = F·t）、運動量変化から平均の力を計算します。求めたい量を選んで既知の値を入力してください。

 詳しく解説
運動エネルギーの計算

物体の運動エネルギーと運動量を計算します。質量と速度を入力すると KE = ½mv² と p = mv が求まります。

 詳しく解説
ニュートンの運動方程式（F＝ma）の計算

F＝ma（力＝質量×加速度）を3方向に解く計算機。力・質量・加速度のいずれかを求められます。

 詳しく解説

200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料

この計算機は役に立ちましたか？

改善が必要

どのような点が改善されると良いですか？
Powered by OneCalc ↗