最終更新: 2026-07-13

ホール電圧

ホール電圧とは、電流の流れる導体を電流に垂直な磁場の中に置いたときに、電流と直角の方向に現れる電位差です。磁場は移動する電荷キャリアの進路を曲げ、試料の片側へ押しやります。そこに溜まった電荷が幅方向に十分な電場をつくり、この偏りとつり合ったところで平衡に達します。このとき両端に生じる電圧がホール電圧で、本計算では電流・磁束密度・キャリア密度・試料の厚さから $V_H = I B / (n q t)$ で求めます。

公式の導出

電荷 $q$ のキャリアがドリフト速度 $v_d$ で磁場 $B$ の中を動くと、横向きに押すローレンツ力 $F = q\, v_d\, B$ を受けます。電荷が試料の片側に溜まって横方向の電場 $E$ をつくり、電気力が磁気力を打ち消したときに平衡になります。

$$q E = q\, v_d\, B \quad\Rightarrow\quad E = v_d\, B$$

ホール電圧はこの電場に試料の幅 $w$ を掛けたもの、$V_H = E\, w = v_d\, B\, w$ です。ドリフト速度は電流 $I = n q\, v_d\, (w t)$ で決まり（$w t$ は断面積）、$v_d = I / (n q\, w t)$ となります。これを代入すると次のようになります。

$$V_H = \frac{I}{n q\, w t}\, B\, w = \frac{I B}{n q t}$$

幅 $w$ が消え、ホール電圧は電流・磁場・キャリア密度・電荷・厚さだけで表されます。

公式

量	記号	意味
ホール電圧	$V_H$	$V_H = \dfrac{I B}{n q t}$
電流	$I$	試料に沿って流れる電流
磁場	$B$	電流に垂直な磁束密度
キャリア密度	$n$	1立方メートルあたりの可動キャリア数
キャリア1個あたりの電荷	$q$	電子では $1.602\times10^{-19}\ \text{C}$
厚さ	$t$	磁場方向に測った試料の厚さ

$R_H = 1/(n q)$ はホール係数と呼ばれ、関係式はしばしば $V_H = R_H\, I B / t$ とも書かれます。その符号は主要なキャリアの符号に従います。

計算例

軽くドープした半導体の試片に電流 $I = 1\ \text{A}$ を流し、磁場 $B = 0.5\ \text{T}$、キャリア密度 $n = 1\times10^{25}\ \text{m}^{-3}$、厚さ $t = 0.1\ \text{mm} = 1\times10^{-4}\ \text{m}$ とします。各キャリアは電気素量 $q = 1.602\times10^{-19}\ \text{C}$ を持ちます。

$$\begin{aligned} V_H &= \frac{I B}{n q t} \\ &= \frac{(1)(0.5)}{\left(1\times10^{25}\right)\left(1.602\times10^{-19}\right)\left(1\times10^{-4}\right)} \\ &\approx 3.12\times10^{-3}\ \text{V} \end{aligned}$$

約 3.1 mV となり、十分に測定できる信号です。このような素子が磁場センサーとして使われる理由がここにあります。

金属と半導体

同じ計算を銅のような金属（$n = 8.5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$）で行うと、ホール電圧は約 $3.7\times10^{-7}\ \text{V}$、すなわち1マイクロボルト未満まで小さくなります。違いは分母のキャリア密度によるものです。金属は軽くドープした半導体より何万倍も多くの自由電子を含むため、1個あたりが運ぶ電流の割合が小さく、横方向の電荷の偏りもはるかに弱くなります。実用的なホールセンサーやホールプローブが半導体で作られるのはこのためで、キャリア密度が低いほど頑健な出力が得られます。

キャリアの符号を読む

ホール電圧の極性は、その大きさ以上の情報を持ちます。負の電子と正の正孔は試料の反対側の端へ偏向されるため、ホール電圧の符号から電流を主に運ぶのが電子か正孔かがわかります。これは n型と p型の半導体を区別する標準的な方法の一つです。また公式を $n = I B / (q t\, V_H)$ と変形すれば、ホール電圧の測定からキャリア密度を直接求められます。

適用の限界

この公式は、単一の主要なキャリアが一様な密度で存在し、磁場が電流に正確に垂直で、試料が薄く磁場が一様に横切ることを前提とします。電子と正孔が同程度に寄与する材料では両者が部分的に打ち消し合い、この単純な式は成り立ちません。高磁場や低温ではホール応答が古典的な結果からずれることもあります。とはいえ、明確な単一キャリアの試料を中程度の磁場に置く場合、$V_H = I B / (n q t)$ は正確で広く使われる関係式です。

よくある質問 (FAQ)

ホール電圧とは何ですか？

ホール電圧とは、電流の流れる導体を電流に垂直な磁場の中に置いたときに、電流と直角の方向に現れる電位差です。磁場はローレンツ力によって移動する電荷キャリアを試料の片側へ押しやり、そこに溜まった電荷が幅方向に電場をつくります。

この電場が磁場によるずれとつり合ったときに平衡に達し、そのときの両端間の電圧がホール電圧で、V_H = I·B /(n·q·t) で表されます。

V_H = I·B /(n·q·t) の各項は何を表しますか？

I は試料に沿って流れる電流、B は電流に垂直に加える磁束密度です。n はキャリア密度（1立方メートルあたりの可動キャリア数）、q は各キャリアの電荷で、電子の場合は電気素量 1.602 × 10⁻¹⁹ C です。t は磁場方向に測った試料の厚さです。ホール電圧は I と B が大きいほど大きく、n や t が大きいほど小さくなります。

ホール電圧から電荷キャリアの符号がわかりますか？

わかります。負の電子と正の正孔は試料の反対側の端へ押しやられるため、ホール電圧の極性は電流を運ぶキャリアが電子か正孔かによって決まります。どちらの端が正になるかを測れば、主要なキャリアの符号がわかります。

これはホール効果の主な用途の一つで、n型とp型の半導体を区別でき、測定した電圧と合わせればキャリア密度も求められます。

なぜ半導体のホール電圧は金属よりずっと大きいのですか？

ホール電圧はキャリア密度 n に反比例します。金属はキャリア密度が非常に大きく、1立方メートルあたり約 10²⁸ 個の自由電子があるため、ホール電圧はごく小さく、しばしば1マイクロボルトを下回ります。半導体はキャリアがはるかに少なく、時には百万分の1ほどなので、同じ電流と磁場でもホール電圧はミリボルト級になります。実用的なホールセンサーが金属ではなく半導体で作られるのはこのためです。