最終更新: 2026-07-13

毛細管上昇

毛細管上昇とは、外から圧力を加えることなく、表面張力によって液体が細い管を重力に逆らって上っていく現象です。細いガラス管を水に浸すと、水は管の中を上昇し、周囲の水面より高いところに曲がった液面、すなわちメニスカスをつくります。同じ効果が、紙タオルへの水の吸い込み、ペン先へのインクの供給、土壌や多孔質のれんがを上がっていく水分にも働きます。ジュリンの法則は、この身近な観察を単純で定量的な予測に変えます。

式

ぬれやすい液体に浸した細い円管について、平衡状態の上昇高さは次式で表されます。

$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho\, g\, r}$

ここで $h$ は上昇高さ、$\gamma$ は液体の表面張力、$\theta$ は液体と管壁の接触角、$\rho$ は液体の密度、$g$ は重力加速度、$r$ は管の内半径です。上昇高さは表面張力とともに大きくなり、密度と半径とともに小さくなります。管が細いほど、液体は高く上がります。

記号一覧

用いる $g$ の値は標準重力加速度 $9.80665\ \text{m/s}^2$ です。

式の由来

平衡状態では、液体が管壁と接する円周に沿って働く表面張力の上向きの引きが、持ち上げられた液柱の重さとつり合います。表面張力は円周 $2\pi r$ の接触線に沿って働き、その鉛直成分は $\gamma\cos\theta$ なので、上向きの力は $2\pi r\,\gamma\cos\theta$ となります。高さ $h$、断面積 $\pi r^2$ の液柱の重さは $\rho g\,\pi r^2 h$ です。両者を等しいとおくと、

$2\pi r\,\gamma\cos\theta = \rho g\,\pi r^2 h,$

これを $h$ について解くとジュリンの法則が得られます。$\cos\theta$ の因子が、ぬれやすい液体を上昇させ、ぬれにくい液体を下降させます。

計算例

接触角の役割

接触角は、液体が管をどれだけよくぬらすかを表します。壁への付着力が液体内部の凝集力を上回ると角度は小さくなります。清浄なガラスに対する水はほぼ0°で、$\cos\theta \approx 1$ となり上昇は最大になります。表面がぬれにくくなるにつれて角度は大きくなり、$\cos\theta$ は小さくなって上昇は下がります。ちょうど90°で余弦は0となり、上昇はまったく起こりません。

90°を超えると余弦は負になり、式は負の高さを予測します。液体が周囲の液面より下に押し下げられるのです。これが毛細管降下で、ガラス管中の水銀がその典型例です。水銀の接触角は約140°なので、上昇せずに降下します。

細い管ほど液体を高く持ち上げる理由

$h$ は $r$ に反比例するため、管の半径を半分にすると上昇は2倍になります。上向きの力は円周（$2\pi r$）に比例する一方、それが支えるべき重さは断面積（$\pi r^2$）と高さの積に比例します。したがって力と支える重さの比は、管が細くなるほど有利になり、細い管は太い管よりもはるかに高く液体を持ち上げます。土壌・布・吸取り紙の微細な孔が液体を効率よく吸い上げるのに対し、同じ液体が広い容器ではほとんど上がらないのはこのためです。

吸い上げ、植物、多孔質材料

毛細管現象は、紙タオルの繊維、スポンジの孔、土壌粒子の隙間など、細い通路の網目を通して液体を移動させます。植物では、毛細管現象が細い道管への水の取り込みを助けますが、単独では水を数十センチメートルしか持ち上げません。高い木のてっぺんに届くのは主に蒸散による引き上げによるものです。葉での蒸発が水柱に張力を与え、凝集力がそれを保ちます。毛細管現象は複数ある寄与の一つで、表面張力が重力を上回る小さなスケールで最も重要になります。

単純な式が成り立たない場合

ジュリンの法則は、メニスカスがほぼ球面で、メニスカス上の重力が無視できる、細く一様な円形の管を前提とします。また、清浄な表面と、明確で安定した接触角も前提とします。太い管ではメニスカスが平坦になり、球面近似が崩れ、式は上昇を過大に見積もります。汚れ・界面活性剤・温度変化・粗いあるいは不均一な壁は、いずれも接触角と表面張力を変化させるため、実測値は理想的な予測とは異なりえます。実際の土壌や織物のような非円形あるいは相互に連結した孔には、より精緻なモデルが必要です。

関連ツール

液柱の高さとその底での圧力を関係づけるには、静水圧の計算 を使います。流体中を沈降する小さな粒子にはたらく粘性抵抗については ストークスの法則の計算 を、細い管を通る定常流については、同じ細管の幾何を体積流量に適用する ハーゲン・ポアズイユ流れの計算 をご覧ください。