最終更新: 2026-07-01

反発係数が表すもの

反発係数 $e$ は、衝突の「跳ね返りやすさ」を一つの数で表す量です。衝突後に 2 つの物体が離れていく速さを、衝突前に近づいていた速さと比べます。

$e = \frac{\text{relative speed of separation}}{\text{relative speed of approach}}$

2 つの速さの比なので、$e$ は無次元です。通常の衝突では 0 から 1 の間に収まります。

• $e = 1$ — 完全弾性衝突。離れる速さが近づいた速さと等しく、運動エネルギーは失われません。
• $e = 0$ — 完全非弾性衝突。物体はまったく離れず、一体となって進み、運動量保存が許す範囲で最大の運動エネルギーを失います。

現実の衝突はこの両極の間にあります。この計算では、落下と跳ね返りの試験から、または衝突前後の速度から、$e$ を 2 通りに求めます。

跳ね返り高さから求める

ボールの $e$ を測る最も簡単な方法は、硬く固定された床に落として跳ね返る高さを見ることです。床はほとんど動かないため、相対速さはボール自身が接触の瞬間にもつ速さそのものになります。

高さ $h_d$ から落とした物体は床に速さ $\sqrt{2 g h_d}$ で達し、高さ $h_b$ まで跳ね返るには出発時に速さ $\sqrt{2 g h_b}$ が必要です。その比が反発係数です。

$e = \frac{\sqrt{2 g h_b}}{\sqrt{2 g h_d}} = \sqrt{\frac{h_b}{h_d}}$

重力加速度は約分で消え、高さの比だけが残ります。跳ね返り高さは落下高さを超えないため、$e$ は 1 以下に保たれます。

速度から求める

2 物体の一般的な衝突では、衝突線に沿った速度を使います。接近速度を $u_1$、$u_2$、分離速度を $v_1'$、$v_2'$ とすると、次のようになります。

$e = \frac{\left|v_2' - v_1'\right|}{\left|u_1 - u_2\right|}$

速度には符号があります。一方向を正と定め、4 つの値すべてでその取り方を守るので、正面から近づく 2 物体は符号が逆になります。絶対値の記号により、結果は接近する速さと離れる速さの大きさだけに依存します。

例題：跳ねるボール

ボールを $h_d = 1\ \text{m}$ から落とし、$h_b = 0.6\ \text{m}$ まで跳ね返ったとします。

$e = \sqrt{\frac{0.6}{1}} = \sqrt{0.6} \approx 0.775$

$e$ が約 0.775 ということは、エネルギーが速さの 2 乗に比例し $e^2 = 0.6$ なので、1 回の跳ね返りごとに運動エネルギーの約 60% が残ることを意味します。2 回目の跳ね返り後は約 $0.6 \times 0.6 = 0.36\ \text{m}$ に達し、跳ね返り高さは毎回 0.6 倍で小さくなっていきます。

例題：正面衝突

物体 1 が $u_1 = 5\ \text{m/s}$ で右へ進み、静止した物体 2（$u_2 = 0$）に当たります。衝突後、物体 1 は $v_1' = -1\ \text{m/s}$ で跳ね返り、物体 2 は $v_2' = 2\ \text{m/s}$ で動き出します。

$e = \frac{\left|2 - (-1)\right|}{\left|5 - 0\right|} = \frac{3}{5} = 0.6$

接近の速さは 5 m/s、分離の速さは 3 m/s なので、衝突は接近時の速さの 60% を返したことになります。

代表的な値

物体と面	おおよその $e$
スーパーボールと床	0.90
バスケットボールとコート	0.75 – 0.85
テニスボールとハードコート	0.70 – 0.75
ゴルフボールとクラブ面	0.78
野球のボールとバット	約 0.50
粘土の塊と床	約 0

各競技団体は、公式用具に対して許容される反発高さの範囲を定めていることが多く、これは反発係数を一定の範囲に固定する手段にほかなりません。温度、面の硬さ、衝突の速さはいずれも $e$ を変化させるため、跳ね返り試験は標準化された条件で行われます。

衝突の計算との関係

反発係数は、完全弾性と完全非弾性の両モデルを橋渡しします。運動量保存と組み合わせると、既知の $e$ から一次元衝突の両方の最終速度を予測できます。運動量の式が速度の和を、反発の式が差を定めるためです。これが、2 つの理想的な極の間にある衝突問題を実際に解く方法です。

よくある質問 (FAQ)

反発係数とは何ですか

反発係数 e は、衝突後に 2 つの物体が保つ相対速さの割合を表す量です。分離の相対速さを接近の相対速さで割った値として定義されます。e が 1 のときは運動エネルギーが失われない完全弾性衝突、0 のときは物体が一体となって運動する完全非弾性衝突を表します。現実の衝突はその中間に位置します。

跳ね返り高さから e を求めるにはどうしますか

硬く固定された床に既知の高さから物体を落とし、跳ね返った高さを記録します。跳ね返りの直前と直後の速さは高さの平方根に比例するため、反発係数は e = √(h_b / h_d) で求まります。1 m から落として 0.6 m まで跳ね返る場合、e = √0.6 ≈ 0.775 です。

e はどのような範囲をとりますか

通常の衝突では e は 0 から 1 の間にあります。e = 0 では物体がまったく分離せず、運動エネルギーの損失が最大になる完全非弾性衝突です。e = 1 では分離の速さが接近の速さと等しく、運動エネルギーが保存される理想的な弾性衝突です。e が 1 を超えるのは、爆発のような外部のエネルギー源によって運動エネルギーが加わる場合だけです。

スポーツ用ボールの e はどのくらいですか

標準的な面での跳ね返り試験では、バスケットボールは約 0.75〜0.85、テニスボールは約 0.7〜0.75、ゴルフボールはクラブ面で約 0.78、野球のボールはバットに対して約 0.5 になります。各競技団体は許容される跳ね返り高さの範囲を定めることが多く、これによって反発係数が一定の範囲に保たれ、メーカー間で用具の性能がそろえられます。